1.
複素構造2011年02月06日08:09 「数理物理への誘い ２ 」（荒木不二洋 編）の本で、
Page 78 (ゲージ場の幾何学への誘い：by 深谷賢治)
の １－９行目に、
「複素同型の定義の中で、全単射である
正則関数φで写るものを複素同型と定義して、
たとえば、連続な全単射で写るものは
複素同型としなかった。これが複素構造を考えることに
当たる。」
と、ありますが、
ここで、
「これが複素構造を考えることに
当たる。」
の意味がわかりづらかったのですが、
お時間のあるときでよろしいので、
なぜ、「連続な全単射で写るものは
複素同型としなかった」ことが、
「複素構造を考えることに
当たる」につながるのか、
ご意見などいただけると嬉しいです。
2011年02月06日 14:53
複素曲面（一般にはcomplex manifold)で考えるのですが、とりあえず分かり易く１次元で考えるなら、コンパクトリーマン面ですが位相同型なら種数で決まってしまいます。コンパクトでなければ境界成分の数も関係します。
同型というのは本質的に同じとみなす、ということですよね。だから連続な全単射がある（逆像もそうなる）ものを同じと見なす（位相同型）と複素構造については考えません。位相的な種数でリーマン面は決まりますから、考える意味がないわけです。
ところが正則全単射がある（逆像もそうなる）ものを同じとみなす（正則同型）と種数は同じでも種数＞０なら異なるものがいっぱいあります。
リーマンが最初に研究したのですが、種数ｇ＞１の時は６ｇ－６の実パラメータが入ります。いわゆるモジュライ空間をなします。
複素構造が同じということは、正則同型とおなじことになります。だから位相的には同型でも複素構造がどれくらいあるか、同型なものを１点と見た場合、どういうものになるか、といったことは研究対象になります。少なくとも高次元では位相的なことだけではなかなか結果がでません。要するに複雑になるんですね。
岡の原理というのがあって、位相的に解けたら解析的（正則的）に解けるというものですが、岡さんの場合はmanifoldにスタインという強い条件がついています。
2011年02月06日 17:26
丁寧に御説明どうもありがとうございます。
何度も読み返します。
上記のような現象（定義その他）は、
物理現象とは違う数学的現象なのでしょうが、
数学的現象が物理現象と同型なものも
あるのでしょうね。
さて、"what do you want to do as the final
subject (as the lifework)?"
を自問しています。
そのなかのひとつに、今のお金のかかる生活を
変えていくことも必須条件になっています。
2011年02月06日 18:27
物理現象的に言えば、ひも理論の場合、リーマン面が時間的に変化するのですが、種数が変わることもあり、その臨界点では特異点を持ったようなリーマン面になるようですね。
種数一定の場合、時間的に位相的に動くなら微分幾何の手法は使えません。正則に動くと考えるのが普通のようです。この場合複素幾何の手法が使えるのですが、モジュライ理論は物理の人のみならず、数学の人にも難しいようですね。
位相同型というのは、位相幾何の人には当たり前のことで、正則同型のカテゴリーで考えると細かく見過ぎということですね。
複素解析的には位相同型で考えると、見方が荒すぎて、何も分からないし、面白くないということなんです。
１次元の場合、単連結領域（境界を２点以上持つ）はリーマンの定理によって単位円と同型です。単連結ということは位相的条件です。
ところが円環となると、単位円に相当するような基本領域はありません。上記のような単連結領域のモジュライ空間は１点なんですが、円環の場合はそうではありません。
複素構造2011年02月06日08:09 「数理物理への誘い ２ 」（荒木不二洋 編）の本で、
Page 78 (ゲージ場の幾何学への誘い：by 深谷賢治)
の １－９行目に、
「複素同型の定義の中で、全単射である
正則関数φで写るものを複素同型と定義して、
たとえば、連続な全単射で写るものは
複素同型としなかった。これが複素構造を考えることに
当たる。」
と、ありますが、
ここで、
「これが複素構造を考えることに
当たる。」
の意味がわかりづらかったのですが、
お時間のあるときでよろしいので、
なぜ、「連続な全単射で写るものは
複素同型としなかった」ことが、
「複素構造を考えることに
当たる」につながるのか、
ご意見などいただけると嬉しいです。
2011年02月06日 14:53
複素曲面（一般にはcomplex manifold)で考えるのですが、とりあえず分かり易く１次元で考えるなら、コンパクトリーマン面ですが位相同型なら種数で決まってしまいます。コンパクトでなければ境界成分の数も関係します。
同型というのは本質的に同じとみなす、ということですよね。だから連続な全単射がある（逆像もそうなる）ものを同じと見なす（位相同型）と複素構造については考えません。位相的な種数でリーマン面は決まりますから、考える意味がないわけです。
ところが正則全単射がある（逆像もそうなる）ものを同じとみなす（正則同型）と種数は同じでも種数＞０なら異なるものがいっぱいあります。
リーマンが最初に研究したのですが、種数ｇ＞１の時は６ｇ－６の実パラメータが入ります。いわゆるモジュライ空間をなします。
複素構造が同じということは、正則同型とおなじことになります。だから位相的には同型でも複素構造がどれくらいあるか、同型なものを１点と見た場合、どういうものになるか、といったことは研究対象になります。少なくとも高次元では位相的なことだけではなかなか結果がでません。要するに複雑になるんですね。
岡の原理というのがあって、位相的に解けたら解析的（正則的）に解けるというものですが、岡さんの場合はmanifoldにスタインという強い条件がついています。
2011年02月06日 17:26
丁寧に御説明どうもありがとうございます。
何度も読み返します。
上記のような現象（定義その他）は、
物理現象とは違う数学的現象なのでしょうが、
数学的現象が物理現象と同型なものも
あるのでしょうね。
さて、"what do you want to do as the final
subject (as the lifework)?"
を自問しています。
そのなかのひとつに、今のお金のかかる生活を
変えていくことも必須条件になっています。
2011年02月06日 18:27
物理現象的に言えば、ひも理論の場合、リーマン面が時間的に変化するのですが、種数が変わることもあり、その臨界点では特異点を持ったようなリーマン面になるようですね。
種数一定の場合、時間的に位相的に動くなら微分幾何の手法は使えません。正則に動くと考えるのが普通のようです。この場合複素幾何の手法が使えるのですが、モジュライ理論は物理の人のみならず、数学の人にも難しいようですね。
位相同型というのは、位相幾何の人には当たり前のことで、正則同型のカテゴリーで考えると細かく見過ぎということですね。
複素解析的には位相同型で考えると、見方が荒すぎて、何も分からないし、面白くないということなんです。
１次元の場合、単連結領域（境界を２点以上持つ）はリーマンの定理によって単位円と同型です。単連結ということは位相的条件です。
ところが円環となると、単位円に相当するような基本領域はありません。上記のような単連結領域のモジュライ空間は１点なんですが、円環の場合はそうではありません。
